Une histoire de la Géométrie

L’érudition de Lacan tenait certainement à sa grande curiosité pour des disciplines aussi variées que l’anthropologie, l’ethnologie, la phénoménologie, la philosophie critique du langage, la linguistique, l’histoire des sciences, le darwinisme, etc...
Par ailleurs, il semble qu’il ait porté un intérêt particulier aux problèmes de fondements et de formalisation auxquels la psychanalyse se heurtent depuis sa naissance ; problèmes qui vont de paire avec la question de la transmission de la psychanalyse et sa place dans les sciences.
L’articulation de ces savoirs importés permet à Lacan d’élaborer, au fil de ses séminaires, une modélisation de plus en plus précise de sa théorie de l’inconscient, notamment à l’aide des graphes, des symbolisations, des schémas et des figures nœudales.

Quoiqu’il en soit, en lisant l’œuvre de Freud puis les écrits et les retranscriptions des séminaires de Lacan, une question, apparemment anodine, retenait mon attention : Pourquoi Lacan avait-il fait appel à ces êtres mathématiques que sont les nœuds et autres ruban ou tore pour illustrer la structure de l’inconscient ? Il ne pouvait pas ignorer que de tels emprunts pouvaient générer des critiques virulentes, jusqu’à l’accuser de charlatanisme ou pire de tenter de légitimer scientifiquement la psychanalyse à l’aide d’une transposition des êtres mathématiques.
Pour tenter de comprendre pourquoi Lacan a incorporé les mathématiques à son enseignement, il m’a paru d’abord intéressant de resituer l’ambiance intellectuelle et scientifique de la première moitié du 20ème siècle. D’autant plus qu’entre 1895 et 1940, la crise des fondements en mathématiques avait engendré un nouveau paradigme dans les sciences, à savoir le structuralisme. Mais qu’est ce que la crise des fondements en mathématiques ? Pourquoi cette appellation de "crise" ? Et comment cette scission dans l’histoire des mathématiques a-t-elle pu transformer l’ensemble des mathématiques au point que Jean Dieudonné dise qu’ "il s’est produit plus de mathématiques fondamentales depuis 1940 qu’il y en a eu entre Thalès et 1940" ? Enfin, quel est l’impact réel qu’a eu cette rupture épistémologique sur l’ensemble des disciplines scientifiques et par extension sur les courants intellectuels et sur les nouvelles technologies ?

Pour esquisser une réponse et tenter de comprendre les bouleversements fondamentaux et structurels qu’a connu le monde de la recherche au début du 20ème siècle, il me semblait nécessaire de faire un bond dans l’histoire et de suivre les différentes évolutions et révolutions des sciences.

Je me suis donc penchée sur l’histoire de la géométrie en particulier, car elle recèle non seulement des merveilles mais aussi une accumulation de découvertes de nouveaux systèmes dans lesquels le concept de continuité joue un rôle essentiel, souvent à l’insu des mathématiciens.

L’histoire de la géométrie pourrait accepter un découpage en quatre épisodes :
– La géométrie du Réel "spatial"
– La géométrie du Réel "animé"
– La géométrie du Réel "alphabétisable"
– La géométrie du Réel "structurel"

PREMIERE TRANSITION - De la forme au mouvement

Au 3ème siècle avant JC, Euclide écrit les 13 livres des Eléments, dans lesquels il répertorie de manière exhaustive et rigoureuse l’ensemble des postulats et axiomes qui serviront de fondements aux mathématiques pendant près de 2300 ans. Dans cette oeuvre fondamentale, les propriétés et relations concernant les nombres (l’arithmétique) sont traités à partir de figures géométriques et tout y est articulé autour de 5 éléments clés : le point, la ligne, le plan, le cercle et la sphère. Pendant des siècles, les géomètres ne s’intéressent qu’à ce qui peut être démontré par une construction à la règle et au compas uniquement.
La somme des connaissances qu’offre l’œuvre d’Euclide présente pourtant déjà quelques anomalies :
– La diagonale d’un carré et son côté sont incommensurables, c’est à dire non exprimable par un entier ou une fraction (la diagonale du carré de côté 1 est non rationnelle 2 )
– Comment construire un carré qui ait le même périmètre ou la même aire qu’un cercle de rayon donné : c’est la quadrature du cercle. Euclide propose une approche du problème du périmètre par la recherche un polygone inscriptible dans le cercle. La question revient alors à "Comment approcher le périmètre du cercle à partir du périmètre d’un polygone ?".

L’inscription d’un polygone dans un cercle et l’inscription d’un cercle dans un polygone induisent une erreur correspondant à la petite surface comprise entre le polygone et les arcs de cercle sous-tendus ou sus-tendus. Le géomètre chinois Liu Hui, en 264 après JC, obtient une valeur approximative de cette erreur à cinq décimale près, en utilisant un polygone à 3072 côtés (tout ceci à la règle et au compas accompagnés de quelques formules de base ... exercice fastidieux !!)

Archimède ( 287-212 av. JC) travailla sur ce problème et utilisa la méthode de l’épuisement. Mais, même s’il peut rendre l’erreur commise très très petite, il subsiste toujours un léger écart entre le polygone et le cercle. En fait, les problèmes de la quadrature du cercle (celui du périmètre et celui de l’aire) aboutissent à la recherche d’une valeur rationnelle du nombre pi, rapport du périmètre d’un cercle avec son diamètre.

Le problème de la quadrature du cercle reste en suspens jusqu’au milieu du 15ème siècle.

A cette époque, Nicolas de Cues (1401-1464), théologien, philosophe et mathématicien allemand, reprend les travaux d’Archimède et la méthode par épuisement. Il en arrive à se poser la question suivante : "Se peut-il que la suite des polygones inscrits dans le cercle, tende, à l’infini, vers le cercle ?" c’est à dire "Le cercle est-il un polygone au nombre de côtés infini ?". Sa réponse est non. Nicolas de Cues affirme que ce n’est pas un problème quantitatif, mais qualitatif. En effet, le côté d’un polygone change de direction à chaque sommet, un nombre fini de fois, et il y donc ainsi une discontinuité à chaque sommet du polygone. Le cercle, lui, change constamment (continûment) de direction et chaque lieu géométrique du cercle est absolument identique à n’importe quel autre. Il en conclut que le polygone se distingue du cercle par l’existence de discontinuités à chacun de ses sommets, ce qu’il appelle des singularités.

Donc, si l’on augmente indéfiniment le nombre de côtés du polygone, le nombre de discontinuités augmente aussi à l’infini, tandis que le cercle ne présente aucune discontinuité. Un nombre infini de singularités ne pouvant être équivalent à une absence de singularité, le Cusain en déduit qu’un polygone au nombre infini de côtés ne peut pas être équivalent à un cercle. Par conséquent, la polygonalité et la circularité sont deux « mondes » différents, et cette différence vient de l’existence de singularités. Cette distinction totalement inédite de la nature, du genre de ces deux figures de la géométrie euclidienne fait apparaître un nouveau paradigme dans les mathématiques.

Nicolas de Cues se pose alors la question : si le polygone et le cercle sont de natures différentes, alors d’où vient le cercle ? La réponse vient assez rapidement : le cercle vient de la rotation, de la circularité, du mouvement circulaire.

On peut alors considérer que toutes les formes de la géométrie euclidienne sont dérivées de l’action circulaire, dérivées du cercle. En effet, on peut définir une ligne en tant que diamètre du cercle (par pliure en deux du cercle), le point en tant que centre du cercle (par pliure en 4 du cercle), le carré en tant que réunion de lignes reliant quatre points du cercle (par pliure de 4 arcs de cercle), etc. L’angle résulte d’une rotation et comme l’a enseigné Euclide en son temps et toute figure est réalisable au compas et à la règle. Voilà la circularité mère de la géométrie. La rotation engendre donc la géométrie alors même qu’elle échappe à la géométrie euclidienne, en tant que substance sous-jacente à la géométrie.

Ce nouveau paradigme permet d’accéder à une nouvelle conception de la géométrie : elle n’est plus une accumulation de formes et de propriétés liées à ces formes, mais une collection de changements, de mouvements, de trajectoires, considérés comme éléments primordiaux. C’est le mouvement qui fait la forme et la qualité du mouvement qui détermine les caractéristiques de ce que nous appelons l’espace-temps.

Pendant cette première progression de l’histoire, la géométrie s’est donc intéressé à une qualité du Réel, le Réel "spatial", lié à l’intuition des formes et des propriétés de ces formes, qualités directement saisissables par les sens et par l’entendement. A partir du 15ème siècle, la géométrie effectue un déplacement vers une autre qualité du Réel, le Réel "animé", lié au mouvement, au changement et cette qualité est suggérée par l’uniformité du mouvement circulaire. En effet, le cercle est considéré comme la figure caractéristique de la continuité, sans singularité, et cette continuité se retrouve dans l’étude des mouvements continus uniformes d’un solide et dans les mouvements astronomiques elliptiques étudiés par les mécaniciens de l’époque (Nicolas Copernic, Johan Kepler). La continuité du cercle est une donnée indiscutée, évidente, intuitive, puisque appréhendée par les sens et saisie par l’entendement, comme le sont les axiomes d’Euclide.

DEUXIEME TRANSITION - Du mouvement au symbole

Durant les deux siècles suivant, la géométrie est devenue analytique - c’est à dire que les techniques de l’algèbre sont transposées à l’étude des configurations géométriques. L’étude des configurations géométriques à partir de la trajectoire d’un point en mouvement place la trigonométrie, déjà utilisée dans l’Antiquité, à son apogée.

La géométrie circulaire inspira à Charles Huygens (1629-1695) les cycloïdes, engendrées par la trajectoire d’un point d’un cercle (de rayon r) tournant autour, ou à l’intérieur, d’un autre cercle fixe (de rayon R). Si R/r est un nombre entier, la cycloïde se ferme et les points de singularité définissent les sommets d’un polygone régulier. Le problème de la quadrature du cercle par le périmètre peut être enfin résolu, en faisant tourner 1 fois le cercle de rayon r sur une ligne et en divisant ce segment en 4 : on obtient les quatre sommets d’un carré dont le périmètre est égal à 2 pi r, périmètre du cercle de rayon r (voir en document joint la figure donnant la solution de la quadrature du cercle, par le périmètre)

Cependant, le problème de la quadrature du cercle par les aires subsiste encore. Il faudra attendre 1667 pour que James Gregory (1638-1675) entreprenne de montrer que pi n’est pas un nombre algébrique (c’est à dire solution d’une équation polynômiale à coefficient rationnel) et en 1882, la démonstration de la transcendance de pi par Lindemann aura pour conséquence la preuve de l’impossibilité de la quadrature du cercle.

Influencé par le paradigme qui place le mouvement au centre de l’étude géométrique, Isaac Newton (1642-1727) initie le calcul infinitésimal en travaillant avec des quantités infiniment petites et considère toute quantité mathématique comme engendrée « par une augmentation continuelle, à la manière de l’espace que décrit un corps en mouvement ». Simultanément, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) étudie les cycloïdes de Huygens et remarque que les familles de courbes ainsi obtenues ne peuvent pas être décrites par des fonctions de l’algèbre classique. Il les qualifie alors de « non algébriques » ou « transcendantales », à l’instar du nombre pi. Afin d’étudier ces courbes et les fonctions non algébriques associées, il introduit deux nouvelles opérations : la différentielle et l’intégrale, qui nécessitent de développer le calcul infinitésimal et auxquelles il assigne des écritures symboliques (Leibniz est en fait le précurseur, avec Newton, de la toute symbolisation mathématique).

Les travaux de Leibniz et de ses successeurs vont engendrer l’algèbre analytique, véritable révolution sur la symbolisation mathématique et sur la notion d’infiniment petit et infiniment grand.

Mais revenons à la géométrie et suivons la piste de la rotation. Les mathématiciens s’amusent à créer de nouveaux êtres (courbes et surfaces) par rotation :
– La sphère (rotation d’un cercle autour d’un de ses diamètres)
– Le tore (rotation d’un cercle autour d’un axe)
– La surface de révolution (rotation d’une courbe autour d’un axe) - le cône est le résultat de la rotation d’une droite autour d’un axe non parallèle.

Puis, en coupant ces surfaces par des plans judicieusement choisis, on crée d’autres courbes (fermées ou ouvertes) et de nouvelles surfaces à étudier. Ainsi, une courbe contient potentiellement une famille d’autres courbes et d’autres surfaces, via la révolution autour d’un axe.

Exemple : couper un cône par un plan, on obtient soit un cercle, soit une ellipse, soit une parabole, soit une hyperbole (courbes dont Appolnius de Perge avait étudié les propriétés caractéristiques et les équations dans Les coniques à l’aide de la géométrie classique, 3ème siècle avant JC, sans aucune symbolisation ... autant dire, presque illisible).

Chaque courbe étant associée à une fonction algébrique ou transcendantale, l’étude des courbes ainsi engendrées par l’action circulaire se ramène à l’étude des fonctions qui leur correspondent. Les outils de l’algèbre classique ne sont plus suffisant et la trigonométrie, le calcul différentiel et intégral prennent une place de plus en plus importante dans l’algèbre analytique. On s’intéresse notamment à ce qu’il se passe au voisinage d’un point en mouvement sur une trajectoire, ce qui revient à définir la notion de continuité pour une fonction, notion que Leonhard Euler (1707-1783) caractérise de la manière suivante : une fonction est dite continue si sa courbe associée ne présente pas de singularité, c’est à dire si elle est peut être définie par une équation unique et immuable.

Pendant cette deuxième période, la géométrie du Réel "animé" poursuit son évolution et un nouveau paradigme apparaît, celui du Réel "alphabétisable", c’est à dire lié à la lettre. Tout mouvement, toute forme est caractérisable par une équation, par une fonction, par une analyse dont l’outil principal est la lettre et le symbole. Cette manipulation de la lettre et du symbole n’est pas sans rappeler le passage de l’arithmétique à l’algèbre auquel les collégiens se heurtent lorsqu’il leur est demandé de considérer la lettre x comme le signifiant référé à un nombre indéterminé (1/3, 5, ...).
La notion de continuité, à laquelle aboutissent inévitablement le calcul différentiel et intégral inaugurés par Leibniz, n’est pas irrévocablement défini : elle est intimement liée à la notion d’infini et rencontrera quelques années plus tard une définition plus rigoureuse, à l’aide de l’outil d’analyse topologique.

TROISIEME TRANSITION - Du symbole à la structure

Les travaux en mathématiques suivent toujours des chemins variés : pendant que certains se passionnent pour le calcul analytique, d’autres approfondissent des notions encore inexplorées de la géométrie.
Autour de 1800, Jean Victor Poncelet (1788-1867) reprend les travaux de Girard Desargues (1591-1661) sur les problèmes de perspective, méthode utilisée par les peintres de la Renaissance pour donner l’illusion du volume et de la profondeur sur la surface plane de la toile, et met en évidence le principe des transformations continues dans le cadre de ce qu’il nommera la géométrie projective. Auguste Ferdinand Möbius (1790-1868) entreprend alors de classer ces transformations selon leurs caractéristiques.

A la même période, quelques hommes, dont Karl Frierich Gauss (1777-1855), reprennent le 5ème postulat du livre I d’Euclide sur les parallèles et initient ce qu’on appellera très rapidement la géométrie non euclidienne. Gauss s’intéresse aux trajectoires courbes que peut emprunter un point sur une surface quelconque de l’espace. Il met alors en évidence les surfaces concaves et convexes, sur lesquelles un triangle ne satisfait plus le postulat d’Euclide affirmant que la somme des angles d’un triangle vaut 180° (pour vous le représenter simplement, dessinez un triangle à trois angles droits sur une surface sphérique !).

Ces travaux trouveront leur apogée avec Felix Klein (1849-1925), qui envisage d’inclure la géométrie projective dans la géométrie non euclidienne. Mais la géométrie projective ne s’arrête pas là : Klein reprend la classification de Möbius, et entreprend ce qu’il appelle le programme d’Erlangen, qui consiste à définir le groupe des transformations continues et les invariants liés à ces transformations (par exemple, si l’on prend deux transformations quelconques de ce groupe, de cet ensemble, alors la composée de ces deux transformations est encore une transformation du groupe).

La notion de groupe algébrique, construite par Evariste Galois (1811-1832), inaugure une nouvelle ère mathématique : le Réel lié à la lettre dévoile un Réel "structurel", lié à la structure ensembliste des objets qui le composent.

La question du continu infinitésimal apparaît une nouvelle fois : comment se comporte le voisinage d’un point lorsqu’il est soumis à une transformation du groupe précédemment défini ? Ou encore, comment définir la caractéristique fondamentale de ces transformations, à savoir leur "continuité" ?

Ce nouveau paradigme laisse les mathématiciens perplexes : les axiomes d’Euclide ne sont plus suffisamment "forts" pour rendre compte de l’évolution des découvertes. David Hilbert propose alors de reconstruire les fondements de la géométrie, afin de permettre une avancée des mathématiques en toute rigueur. Cependant, cette volonté d’axiomatisation se heurte rapidement à l’absence de notions premières, telle que la définition de l’infini, la définition du nombre non rationnel, la définition de la continuité, la définition de la rigueur, etc.

Nous sommes à la fin du 19ème siècle, les mathématiques vont connaître leur plus grande révolution avec ce que l’on appellera plus tard la "crise des fondements", lieu où la science dite "exacte" cherche à définir ses racines, sa structure fondamentale, sa raison de continuer à prétendre à la rigueur et à la recherche d’une vérité portant sur le Réel.

Mais ceci est encore une autre histoire ...