La erudición de Lacan se debía ciertamente a su gran curiosidad por las disciplinas también variadas como la antropología, la etnología, la fenomenología, la filosofía crítica del lenguaje, la lingüística, la historia de la ciencia, el darwinismo, etc… Por cierto, parece que él tenía un interés particular en los problemas de los fundamentos y de la formalización con los cuales se topaba el psicoanálisis después de su nacimiento; problemas que van a la par con la pregunta sobre la transmisión del psicoanálisis y su lugar en la ciencia. La articulación de esos saberes importados permiten a Lacan elaborar, a la par de sus seminarios, una modelización muy muy precisa de su teoría del inconsciente, notoriamente con ayuda de los grafos, de las simbolizaciones, de los esquemas y de las figuras nodales.

Sea lo que sea, leyendo la obra de Freud junto con los escritos y las transcripciones de los seminarios de Lacan, retuvo mi atención una pregunta, aparentemente anodina : ¿Por qué Lacan había recurrido a esos seres matemáticos que son los nudos y otros, caucho o toro, para ilustrar la estructura del inconsciente ? Él no podía ignorar que tales préstamos podían generar críticas virulentas, hasta el punto de llegar a acusarlo de charlatanería o peor, de intentar legitimar científicamente al psicoanálisis con la ayuda de una trasposición de seres matemáticos. Para intentar comprender por qué Lacan incorporó las matemáticas a su enseñanza, me ha parecido ante todo interesante volver a situar el ambiente intelectual y científico de la primera mitad del siglo 20. Tanto más que entre 1895 y 1940, la crisis de los fundamentos en matemáticas había engendrado un nuevo paradigma en las ciencia, a saber, el estructuralismo. Pero, ¿que es la crisis de los fundamentos en matemáticas ? ¿Por qué esta nominación de « crisis » ? ¿Y cómo esta escición en la historia de la matemáticas pudo transformar el conjunto de las matemáticas al punto que Jean Dieudonné dice que « se ha producido más matemáticas fundamentales después de 1940 que lo que fue entre Tales y 1940 » ?

Finalmente, ¿cuál es el impacto real que tuvo esta ruptura pistemológica sobre el conjunto de las disciplinas científicas y sobre las nuevas tecnologías ?

Para bosquejar una respuesta e intentar comprender los vericuetos fundamentales y estructurales que ha conocido el mundo de la investigación a comienzos del siglo 20, me pareció necesario hacer un recorrido histórico y seguir las diferentes evoluciones y revoluciones de la ciencia. Me siento entonces inclinada hacia la historia de la geometría en particular, porque no sólo oculta maravillas sino también una acumulación de descubrimientos de nuevos sistemas en los cuales el concepto de continuidad juega un papel esencial, a menudo a espaldas de los matemáticos.

La historia de la geometría podría aceptar un corte en cuatro episodios :
 La geometría del Real « espacial »
 La geometría del Real « animado »
 La geometría del Real « alfabetizable »
 La geometría del Real «estructural »

PRIMERA TRANSICIÓN – De la forma al movimiento

En el tercer siglo a.C., Euclides escribió los 13 libros de los Elementos, en los cuales hace un inventario de manera exhaustiva de los postulados y axiomas que servirán de fundamento a los matemáticos durante más de 2300 años. En esta obra fundamental, las propiedades y relaciones concernientes a los números (la aritmética) son tratadas a partir de figuras geométricas y todo está articulado alrededor de 5 elementos claves : el punto, la línea, el plano, el círculo y la esfera. Durante siglos, los geómetras no se interesaron sino en demostrar únicamente por medio de la construcción con regla y compás. Las suma de conocimientos que ofrece la obra de Euclides presenta sin embargo algunas anomalías :

 La diagonal de un cuadrado y su lado son inconmensurables, es decir, no es expresable por un [número] entero o una fracción (la diagonal del cuadrado de lado 1 es no racional 2)

 Como construir un cuadrado que tenga el mismo perímetro o la misma área que un círculo de un radio dado: es la cuadratura del círculo. Euclides propone una aproximación al problema del perímetro buscando un polígono inscribible en el círculo. La pregunta surge entonces :«¿Cómo aproximar el perímetro del círculo a partir del perímetro de un polígono ? ».

La inscripción de un polígono en un círculo y la inscripción de un círculo en un polígono inducen un error correspondiente a la pequeña superficie comprendida entre el polígono y los arcos del círculo subtendido o sobre-tendido. El geómetra chino Liu Hui, en el 264 a.C., obtuvo un valor aproximado de este error en cinco decimales de más, utilizando un polígono de 3072 lados (todo esto con regla y compás acompañado de algunas fórmulas de base… ¡¡ejercicio fastidioso !!)

Arquímedes (287-212 a.C) trabajó sobre este problema y utilizó el método por agotamiento. Pero, aun si él hubiese cometido un error muy muy pequeño, siempre subsiste una ligera diferencia entre el polígono y el círculo. De hecho, los problemas de la cuadratura del círculo (aquel del perímetro y aquel del área) conducen a la búsqueda de un valor racional del número pi, relación del perímetro de un cículo con su diámetro.

El problema de la cuadratura del círculo queda en suspenso hasta mediados del siglo 15.

Schéma de la Quadrature du Cercle

En esta época, Nicolás de Cusa (1401- 1464), teólogo, filósofo y matemático alemán, retoma los trabajos de Arquímedes y el método por agotamiento. Él llega a hacerse la siguiente pregunta: « ¿Puede ser que la serie de polígonos inscritos en el círculo, tienda, al infinito, hacia el círculo ? », es decir, « ¿Es el círculo un polígono de número de lados infinito ? ». Su respuesta es no. Nicolás de Cusa afirma que no es un problema cuantitativo, sino cualitativo. En efecto, el lado de un polígono cambia de dirección en cada punta[cima], un número finito de veces, y así hay entonces una discontinuidad en cada punta del polígono. El círculo, él, cambia constantemente (continuamente) de dirección y cada lugar geométrico del círculo es absolutamente idéntico a no importa cual otro. Él concluye que el polígono se distingue del círculo por la existencia de discontinuidades en cada una de sus puntas, lo que él llama las singularidades.

Entonces, si se aumenta indefinidamente el número de lados del polígono, el número de discontinuidades aumenta también al infinito, al punto que el círculo no presenta alguna discontinuidad. Un número infinito de singularidades no pueden ser equivalentes a una ausencia de singularidad, el cuseano dedujo que un polígono de número infinito de lados no podía ser equivalente a un círculo. En consecuencia, la poligonalidad y la circularidad son dos « mundos » diferentes, y esta diferencia viene de la existencia de singularidades. Esta distinción totalmente inédita de la naturaleza, del género de esas dos figuras de la geometría euclidiana, hace aparecer un nuevo paradigma en las matemáticas.

Nicolás de Cusa se hace entonces la [siguiente] pregunta : si el polígono y el círculo son de naturalezas diferentes, entonces ¿de dónde viene el círculo ? La respuesta llega rápidamente : el círculo surge de la rotación, de la circularidad, del movimiento circular. Se puede por lo tanto considerar que todas las formas de la geometría euclidiana son derivadas de la acción circular, derivadas del círculo.

En efecto, se puede definir una línea en tanto que diámetro del círculo (por plegado en dos del círculo), el punto en tanto que centro del círculo (por plegado en 4 del círculo), el cuadrado en tanto que reunión de las líneas conectando cuatro puntos del círculo (por plegado de 4 arcos de círculo), etc. El ángulo resulta de una rotación y, como lo enseñó Euclides en su tiempo, toda figura es realizable con compás y regla. He aquí la mera circularidad de la geometría.

La rotación engendra luego la geometría incluso si ella escapa a la geometría euclidiana, en tanto que substancia subyacente a la geometría.

Ese nuevo paradigma permite acceder a una nueva concepción de la geometría : ella no es una acumulación de formas y propiedades ligadas a esas formas, sino una colección de cambios, de movimientos, de trayectorias, consideradas como elementos primordiales.

Es el movimiento que hace la forma y la cualidad del movimiento la que determina las características de eso que nosotros llamamos el espacio-tiempo. Durante esta primera progresión de la historia, la geometría está entonces interesada en una cualidad del Real, el Real « espacial », ligado a la intuición de las formas y de las propiedades de esas formas, cualidades directamente asibles por los sentidos y por el entendimiento. A partir del siglo 15, la geometría ejerce un desplazamiento hacia una otra cualidad del Real, el Real « animado », ligado al movimiento, al cambio de esta cualidad y sugerido por la uniformidad del movimiento circular.

En efecto, el círculo es considerado como la figura característica de la continuidad, sin singularidad, y esta continuidad se reencuentra en el estudio de los movimientos continuos uniformes de un sólido y en los movimientos astronómicos elípticos estudiados por los mecanicistas de la época (Nicolás Copérnico, Johan Keppler).

La continuidad del círculo es un dato indiscutible, evidente, intuitivo, puesto que es aprehendido por los sentidos y asido por el entendimiento, como lo son los axiomas de Euclides.

SEGUNDA TRANSICIÓN – Del movimiento al símbolo

Durante los dos siglos siguientes, la geometría devino analítica – es decir que las técnicas del álgebra son traspuestas al estudio de las configuraciones geométricas-. El estudio de las configuraciones geométricas a partir de las trayectoria de un punto en movimiento da lugar a la trigonometría, ya utilizada en la Antigüedad, en su apogeo.

La geometría circular inspira los cicloides de Charles Huygens (1629-1695), engendrados por la trayectoria de un punto de un círculo (de radio r) girando alrededor, o al interior, de un otro círculo fijo (de radio R). Si R/r es un número entero, el cicloide se cierra y los puntos de singularidad definen las puntas de un polígono regular. El problema de la cuadratura del círculo por el perímetro puede ser finalmente resuelto, haciendo girar 1 vez el círculo de radio r sobre una línea y dividiendo ese segmento en 4 : se obtienen las cuatro puntas de un cuadrado cuyo perímetro es igual a 2 pi r , perímetro del círculo de radio r (ver en documento adjunto la figura que da la solución de la cuadratura del círculo, por el perímetro) 3

Sin embargo, el problema de la cuadratura del círculo por las áreas subsiste aún. Habrá que esperar hasta 1667 para que James Gregory (1638-1675) emprenda mostrar que pi no es un número algebraico (es decir la solución de una ecuación polinómica de coeficiente racional) y en 1882, la demostración de la trascendencia de pi por Lindemann tendrá como consecuencia la prueba de la imposibilidad de la cuadratura del círculo.

Influenciado por el paradigma que coloca al movimiento en el centro del estudio geométrico, Isaac Newton (1642-1727) inicia el cálculo infinitesimal trabajando con las cantidades infinitamente pequeñas y considerando toda cantidad matemática como engendrada « por un aumento continuo, a la manera del espacio que describe un cuerpo en movimiento ».

Simultáneamente, Gottfried Wihelm Leibniz (1646-1716) estudia los cicloides de Huygens y destaca que las familias de las curvas así obtenidas no pueden ser descritas por las funciones del álgebra clásica. Él las califica entonces de « no algebraicas » o « trascendentales », a la manera del número pi. Con el fin de estudiar esas curvas y las funciones no algebraicas asociadas, él introduce dos nuevas operaciones : la diferencial y la integral, que requieren del desarrollo del cálculo infinitesimal y a las cuales él asigna escrituras simbólicas (Leibniz es de hecho el precursor, junto con Newton, de toda la simbolización matemática).

El trabajo de Leibniz y de sus sucesores va a engendrar el álgebra analítica, verdadera revolución sobre la simbolización matemática y sobre la noción infinitamente pequeña e infinitamente grande. Pero regresemos a la geometría y sigamos la pista de la rotación. Los matemáticos se deleitan en crear nuevos seres (curvas y superficies) por rotación :

 La esfera (rotación de un círculo alrededor de uno de sus diámetros)
 El toro (rotación de un círculo alrededor de un eje)

 La superficie de revolución (rotación de una curva alrededor de un eje) – el cono es el resultado de la rotación de una recta alrededor de un eje no paralelo-.

Por lo tanto, cortando esas superficies juiciosamente elegidas por los planos, se crean otras curvas (cerradas o abiertas) y nuevas superficies a estudiar. Así, una curva contiene potencialmente una familia de otras curvas y de otras superficies, vía la vuelta alrededor de un eje.

Ejemplo : al cortar un cono por un plano, se obtiene un círculo, sea una elipse, sea una parábola, sea una hipérbole (curvas de las que Appolnius Perge había estudiado las propiedades características y las ecuaciones en Las cónicas con ayuda de la geometría clásica, en el siglo 3o. d.C., sin simbolización alguna… por decir, casi ilegible).

Estando cada curva asociada a una función algebraica o trascendental, el estudio de las curvas así engendradas por la acción circular se reduce al estudio de las funciones que les corresponden. Los instrumentos del álgebra clásica dejan de ser suficientes y la trigonometría, el cálculo diferencial e integral toman un lugar cada vez más importante en el álgebra analítica. Hay un interés notorio en eso que ocurre en la vecindad de un punto en movimiento sobre una trayectoria, eso que vuelve a definir la noción de continuidad para una función, noción que Leonhard Euler (1707-1783) caracteriza de la siguiente manera : una función es llamada continua si su curva asociada no presenta [alguna] singularidad, es decir si ella puede ser definida por una ecuación única e inmutable.

Según este segundo período, la geometría de lo Real « animado » prosigue su evolución y aparece un nuevo paradigma, aquel del Real « alfabetizable », es decir ligado a la letra. Todo movimiento, toda forma es caracterizable por una ecuación, por una función, por un análisis cuyo principal instrumento es la letra y el símbolo. Esta manipulación de la letra y del símbolo no es sin recordar el pasaje de la aritmética al álgebra al cual se enfrentan los estudiantes universitarios en tanto les es solicitado considerar la letra x como el significante referido a un número indeterminado (1/3, 5, …).

La noción de continuidad, a la cual se dirige inevitablemente el cálculo diferencial e integral inaugurado por Leibniz, no es irrevocablemente definitivo : está íntimamente ligada a la noción de infinito y encontrará algunos años más tarde una definición más rigurosa, con ayuda del instrumento del análisis topológico.

TERCERA TRANSICIÓN – Del símbolo a la estructura

Los trabajos en matemáticas siguen siempre varios caminos : ya sea que algunos se apasionen por el cálculo analítico, [mientras] otros profundizan las nociones aún inexploradas de la geometría. Alrededor de 1800, Jean Victor Poncelet (1788-1867) retoma los trabajos de Girard Desargues (1591-1661) sobre los problemas de perspectiva, método utilizado por los pintores del Renacimiento para dar la ilusión de volumen y de profundidad sobre la superficie plana del lienzo, poniendo en evidencia el principio de las transformaciones continuas en el cuadro de lo que él nombrará la geometría proyectiva.

Auguste Ferdinand Möbius (1790-1868) empieza entonces a clasificar las transformaciones según sus características. En el mismo período, algunos hombres, entre estos Karl Friedrich Gauss (1777-1855), retoma el quinto postulado del libro I de Euclides sobre las paralelas e inicia lo que se llamará muy rápidamente la geometría no euclidiana. Gauss se interesa en las trayectorias curvas que puede tomar un punto sobre una superficie cualquiera del espacio. Él pone entonces en evidencia las superficies cóncavas y convexas, sobre las cuales un triángulo deja de satisfacer el postulado de Euclides que afirma que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180° (¡para que ustedes lo representen simplemente, dibujen un triángulo de tres ángulos rectos sobre una superficie esférica !).

Esos trabajos encontraron su auge con Felix Klein (1849-1925), quien considera incluir la geometría proyectiva en la geometría no euclidiana. Pero la geometría proyectiva no se detiene allí : Klein retoma la clasificación de Möbius, y emprende lo que él llama el programa de Erlangen, el cual consiste en definir el grupo de las transformaciones (por ejemplo, si se toman dos transformaciones cualquieras de ese grupo, de ese conjunto, entonces la composición de esas dos transformaciones es aún una transformación del grupo).

La noción de grupo algebraico, construido por Evariste Galois (1811-1832), inaugura una nueva era matemática : lo Real ligado a la letra desvela un Real «estructural », ligado a la estructura conjuntista de los objetos que la componen.

La cuestión del continuo infinitesimal aparece de nuevo : ¿ cómo se comporta la vecindad de un punto cuando éste está sometido a una transformación del grupo anteriormente definido ? O aún, ¿ cómo definir la característica fundamental de esas transformaciones, a saber su « continuidad » ?

Este nuevo paradigma deja perplejas a las matemáticas : los axiomas de Euclides dejan de ser lo suficientemente « fuertes » para dar cuenta de la evolución de los descubrimientos. David Hilbert propone entonces reconstruir los fundamentos de la geometría, con el fin de permitir un avance de las matemáticas con todo rigor. Sin embargo, esta voluntad de axiomatización tropieza rápidamente con la ausencia de nociones primeras, tales como la definición del infinito, la definición del número no racional, la definición de la continuidad, la definición del rigor, etc.

Nosotros estamos ahora a finales del siglo 19, [luego] las matemáticas van a conocer su mayor revolución con lo que se llamará más tarde la « crisis de los fundamentos », lugar donde la ciencia llamada « exacta » busca definir sus raíces, su estructura fundamental, su razón de continuar pretendiendo tener el rigor y la búsqueda de una verdad por lo tanto sobre lo Real.

Pero esta es aun otra historia…