Una historia de la geometría

La erudición de Lacan se debía ciertamente a su gran curiosidad por las disciplinas también variadas como la antropología, la etnología, la fenomenología, la filosofía crítica del lenguaje, la lingüística, la historia de la ciencia, el darwinismo, etc… Por cierto, parece que él tenía un interés particular en los problemas de los fundamentos y de la
formalización con los cuales se topaba el psicoanálisis después de su nacimiento; problemas que van a la par con la pregunta sobre la transmisión del psicoanálisis y su lugar en la ciencia. La articulación de esos saberes importados permiten a Lacan elaborar, a la par de sus seminarios, una modelización muy muy precisa de su teoría del inconsciente, notoriamente con ayuda de los grafos, de las simbolizaciones, de los esquemas y de las figuras nodales.

Sea lo que sea, leyendo la obra de Freud junto con los escritos y las transcripciones de los seminarios de Lacan, retuvo mi atención una
pregunta, aparentemente anodina : ¿Por qué Lacan había recurrido a esos seres matemáticos que son los nudos y otros, caucho o toro, para ilustrar la estructura del inconsciente ? Él no podía ignorar que tales
préstamos podían generar críticas virulentas, hasta el punto de llegar a acusarlo de charlatanería o peor, de intentar legitimar científicamente al psicoanálisis con la ayuda de una trasposición de seres matemáticos.
Para intentar comprender por qué Lacan incorporó las matemáticas a su enseñanza, me ha parecido ante todo interesante volver a situar el ambiente intelectual y científico de la primera mitad del siglo 20. Tanto más que entre 1895 y 1940, la crisis de los fundamentos en matemáticas había engendrado un nuevo paradigma en las ciencia, a saber, el estructuralismo. Pero, ¿que es la crisis de los fundamentos en
matemáticas ? ¿Por qué esta nominación de « crisis » ? ¿Y cómo esta escición en la historia de la matemáticas pudo transformar el conjunto de las matemáticas al punto que Jean Dieudonné dice que « se ha producido más matemáticas fundamentales después de 1940 que lo que fue entre Tales y 1940 » ?

Finalmente, ¿cuál es el impacto real que tuvo esta ruptura pistemológica sobre el conjunto de las disciplinas científicas y sobre las nuevas tecnologías ?

Para bosquejar una respuesta e intentar comprender los vericuetos fundamentales y estructurales que ha conocido el mundo de la
investigación a comienzos del siglo 20, me pareció necesario hacer un recorrido histórico y seguir las diferentes evoluciones y revoluciones de la ciencia.
Me siento entonces inclinada hacia la historia de la geometría en particular, porque no sólo oculta maravillas sino también una
acumulación de descubrimientos de nuevos sistemas en los cuales el concepto de continuidad juega un papel esencial, a menudo a espaldas de los matemáticos.

La historia de la geometría podría aceptar un corte en cuatro episodios :
– La geometría del Real « espacial »
– La geometría del Real « animado »
– La geometría del Real « alfabetizable »
– La geometría del Real «estructural »

PRIMERA TRANSICIÓN – De la forma al movimiento

En el tercer siglo a.C., Euclides escribió los 13 libros de los Elementos, en los cuales hace un inventario de manera exhaustiva de los
postulados y axiomas que servirán de fundamento a los matemáticos durante más de 2300 años. En esta obra fundamental, las
propiedades y relaciones concernientes a los números (la aritmética) son tratadas a partir de figuras geométricas y todo está articulado
alrededor de 5 elementos claves : el punto, la línea, el plano, el círculo y la esfera. Durante siglos, los geómetras no se interesaron sino
en demostrar únicamente por medio de la construcción con regla y compás. Las suma de conocimientos que ofrece la obra de
Euclides presenta sin embargo algunas anomalías :

– La diagonal de un cuadrado y su lado son inconmensurables, es decir, no es expresable por un [número] entero o una fracción (la diagonal del cuadrado de lado 1 es no racional 2)

– Como construir un cuadrado que tenga el mismo perímetro o la misma área que un círculo de un radio dado: es la cuadratura del círculo. Euclides propone una aproximación al problema del perímetro
buscando un polígono inscribible en el círculo. La pregunta surge
entonces :«¿Cómo aproximar el perímetro del círculo a partir del perímetro de un polígono ? ».

La inscripción de un polígono en un círculo y la inscripción de un círculo en un polígono inducen un error correspondiente a la pequeña superficie comprendida entre el polígono y los arcos del círculo subtendido o sobre-tendido. El geómetra chino Liu Hui, en
el 264 a.C., obtuvo un valor aproximado de este error en cinco decimales de más, utilizando un polígono de 3072 lados (todo
esto con regla y compás acompañado de algunas fórmulas de base… ¡¡ejercicio fastidioso !!)

Arquímedes (287-212 a.C) trabajó sobre este
problema y utilizó el método por
agotamiento. Pero, aun si él hubiese cometido
un error muy muy pequeño, siempre subsiste
una ligera diferencia entre el polígono y el
círculo. De hecho, los problemas de la
cuadratura del círculo (aquel del perímetro y
aquel del área) conducen a la búsqueda de un
valor racional del número pi, relación del
perímetro de un cículo con su diámetro.

El problema de la cuadratura del círculo
queda en suspenso hasta mediados del siglo
15.

En esta época, Nicolás de Cusa (1401-
1464), teólogo, filósofo y matemático alemán,
retoma los trabajos de Arquímedes y el
método por agotamiento. Él llega a hacerse la
siguiente pregunta: « ¿Puede ser que la serie
de polígonos inscritos en el círculo, tienda, al
infinito, hacia el círculo ? », es decir, « ¿Es el
círculo un polígono de número de lados
infinito ? ». Su respuesta es no. Nicolás de
Cusa afirma que no es un problema
cuantitativo, sino cualitativo. En efecto, el
lado de un polígono cambia de dirección en
cada punta[cima], un número finito de veces,
y así hay entonces una discontinuidad en
cada punta del polígono. El círculo, él,
cambia constantemente (continuamente) de
dirección y cada lugar geométrico del círculo
es absolutamente idéntico a no importa cual
otro. Él concluye que el polígono se distingue del círculo por la existencia de
discontinuidades en cada una de sus puntas,
lo que él llama las singularidades.

Entonces, si se aumenta indefinidamente el
número de lados del polígono, el número de
discontinuidades aumenta también al
infinito, al punto que el círculo no presenta
alguna discontinuidad. Un número infinito
de singularidades no pueden ser equivalentes
a una ausencia de singularidad, el cuseano
dedujo que un polígono de número infinito
de lados no podía ser equivalente a un
círculo. En consecuencia, la poligonalidad y
la circularidad son dos « mundos »
diferentes, y esta diferencia viene de la
existencia de singularidades. Esta distinción
totalmente inédita de la naturaleza, del
género de esas dos figuras de la geometría
euclidiana, hace aparecer un nuevo
paradigma en las matemáticas.

Nicolás de
Cusa se hace entonces la [siguiente]
pregunta : si el polígono y el círculo son de
naturalezas diferentes, entonces ¿de dónde
viene el círculo ? La respuesta llega
rápidamente : el círculo surge de la rotación,
de la circularidad, del movimiento circular.
Se puede por lo tanto considerar que todas
las formas de la geometría euclidiana son
derivadas de la acción circular, derivadas del
círculo.

En efecto, se puede definir una línea
en tanto que diámetro del círculo (por
plegado en dos del círculo), el punto en tanto
que centro del círculo (por plegado en 4 del
círculo), el cuadrado en tanto que reunión de
las líneas conectando cuatro puntos del
círculo (por plegado de 4 arcos de círculo),
etc. El ángulo resulta de una rotación y, como
lo enseñó Euclides en su tiempo, toda figura
es realizable con compás y regla. He aquí la
mera circularidad de la geometría.

La
rotación engendra luego la geometría incluso
si ella escapa a la geometría euclidiana, en
tanto que substancia subyacente a la
geometría.

Ese nuevo paradigma permite acceder a una
nueva concepción de la geometría : ella no es
una acumulación de formas y propiedades ligadas a esas formas, sino una colección de
cambios, de movimientos, de trayectorias,
consideradas como elementos primordiales.

Es el movimiento que hace la forma y la
cualidad del movimiento la que determina
las características de eso que nosotros
llamamos el espacio-tiempo.
Durante esta primera progresión de la
historia, la geometría está entonces interesada
en una cualidad del Real, el Real « espacial »,
ligado a la intuición de las formas y de las
propiedades de esas formas, cualidades
directamente asibles por los sentidos y por el
entendimiento. A partir del siglo 15, la
geometría ejerce un desplazamiento hacia
una otra cualidad del Real, el Real
« animado », ligado al movimiento, al cambio
de esta cualidad y sugerido por la
uniformidad del movimiento circular.

En
efecto, el círculo es considerado como la
figura característica de la continuidad, sin
singularidad, y esta continuidad se
reencuentra en el estudio de los movimientos
continuos uniformes de un sólido y en los
movimientos astronómicos elípticos
estudiados por los mecanicistas de la época
(Nicolás Copérnico, Johan Keppler).

La
continuidad del círculo es un dato
indiscutible, evidente, intuitivo, puesto que
es aprehendido por los sentidos y asido por
el entendimiento, como lo son los axiomas de
Euclides.

SEGUNDA TRANSICIÓN – Del
movimiento al símbolo

Durante los dos siglos siguientes, la
geometría devino analítica – es decir que las
técnicas del álgebra son traspuestas al estudio
de las configuraciones geométricas-. El
estudio de las configuraciones geométricas a
partir de las trayectoria de un punto en
movimiento da lugar a la trigonometría, ya
utilizada en la Antigüedad, en su apogeo.

La geometría circular inspira los cicloides de
Charles Huygens (1629-1695), engendrados
por la trayectoria de un punto de un círculo (de radio r) girando alrededor, o al interior,
de un otro círculo fijo (de radio R). Si R/r es
un número entero, el cicloide se cierra y los
puntos de singularidad definen las puntas de
un polígono regular. El problema de la
cuadratura del círculo por el perímetro puede
ser finalmente resuelto, haciendo girar 1 vez
el círculo de radio r sobre una línea y
dividiendo ese segmento en 4 : se obtienen
las cuatro puntas de un cuadrado cuyo
perímetro es igual a 2 pi r , perímetro
del círculo de radio r (ver en documento
adjunto la figura que da la solución de la
cuadratura del círculo, por el perímetro) 3

Sin embargo, el problema de la cuadratura
del círculo por las áreas subsiste aún. Habrá
que esperar hasta 1667 para que James
Gregory (1638-1675) emprenda mostrar que
pi no es un número algebraico (es decir la
solución de una ecuación polinómica de
coeficiente racional) y en 1882, la
demostración de la trascendencia de pi por
Lindemann tendrá como consecuencia la
prueba de la imposibilidad de la cuadratura
del círculo.

Influenciado por el paradigma que coloca al
movimiento en el centro del estudio
geométrico, Isaac Newton (1642-1727) inicia
el cálculo infinitesimal trabajando con las
cantidades infinitamente pequeñas y
considerando toda cantidad matemática
como engendrada « por un aumento
continuo, a la manera del espacio que
describe un cuerpo en movimiento ».

Simultáneamente, Gottfried Wihelm Leibniz
(1646-1716) estudia los cicloides de Huygens
y destaca que las familias de las curvas así
obtenidas no pueden ser descritas por las
funciones del álgebra clásica. Él las califica
entonces de « no algebraicas » o
« trascendentales », a la manera del número
pi. Con el fin de estudiar esas curvas y las
funciones no algebraicas asociadas, él
introduce dos nuevas operaciones : la
diferencial y la integral, que requieren del
desarrollo del cálculo infinitesimal y a las cuales él asigna escrituras simbólicas (Leibniz
es de hecho el precursor, junto con Newton,
de toda la simbolización matemática).

El trabajo de Leibniz y de sus sucesores va a
engendrar el álgebra analítica, verdadera
revolución sobre la simbolización matemática
y sobre la noción infinitamente pequeña e
infinitamente grande.
Pero regresemos a la geometría y sigamos la
pista de la rotación. Los matemáticos se
deleitan en crear nuevos seres (curvas y
superficies) por rotación :

– La esfera (rotación de un círculo
alrededor de uno de sus diámetros)
– El toro (rotación de un círculo alrededor
de un eje)

– La superficie de revolución (rotación de
una curva alrededor de un eje) – el cono
es el resultado de la rotación de una recta
alrededor de un eje no paralelo-.

Por lo tanto, cortando esas superficies
juiciosamente elegidas por los planos, se
crean otras curvas (cerradas o abiertas) y
nuevas superficies a estudiar. Así, una curva
contiene potencialmente una familia de otras
curvas y de otras superficies, vía la vuelta
alrededor de un eje.

Ejemplo : al cortar un cono por un plano, se
obtiene un círculo, sea una elipse, sea una
parábola, sea una hipérbole (curvas de las que
Appolnius Perge había estudiado las propiedades
características y las ecuaciones en Las cónicas con
ayuda de la geometría clásica, en el siglo 3o. d.C.,
sin simbolización alguna… por decir, casi
ilegible).

Estando cada curva asociada a una función
algebraica o trascendental, el estudio de las
curvas así engendradas por la acción circular
se reduce al estudio de las funciones que les
corresponden. Los instrumentos del álgebra
clásica dejan de ser suficientes y la
trigonometría, el cálculo diferencial e integral
toman un lugar cada vez más importante en el álgebra analítica. Hay un interés notorio
en eso que ocurre en la vecindad de un
punto en movimiento sobre una trayectoria,
eso que vuelve a definir la noción de
continuidad para una función, noción que
Leonhard Euler (1707-1783) caracteriza de la
siguiente manera : una función es llamada
continua si su curva asociada no presenta
[alguna] singularidad, es decir si ella puede ser
definida por una ecuación única e inmutable.

Según este segundo período, la geometría de
lo Real « animado » prosigue su evolución y
aparece un nuevo paradigma, aquel del Real
« alfabetizable », es decir ligado a la letra. Todo
movimiento, toda forma es caracterizable por
una ecuación, por una función, por un
análisis cuyo principal instrumento es la letra
y el símbolo. Esta manipulación de la letra y
del símbolo no es sin recordar el pasaje de la
aritmética al álgebra al cual se enfrentan los
estudiantes universitarios en tanto les es
solicitado considerar la letra x como el
significante referido a un número
indeterminado (1/3, 5, …).

La noción de
continuidad, a la cual se dirige
inevitablemente el cálculo diferencial e
integral inaugurado por Leibniz, no es
irrevocablemente definitivo : está
íntimamente ligada a la noción de infinito y
encontrará algunos años más tarde una
definición más rigurosa, con ayuda del
instrumento del análisis topológico.

TERCERA TRANSICIÓN – Del símbolo a
la estructura

Los trabajos en matemáticas siguen siempre
varios caminos : ya sea que algunos se
apasionen por el cálculo analítico, [mientras]
otros profundizan las nociones aún
inexploradas de la geometría. Alrededor de
1800, Jean Victor Poncelet (1788-1867) retoma
los trabajos de Girard Desargues (1591-1661)
sobre los problemas de perspectiva, método
utilizado por los pintores del Renacimiento
para dar la ilusión de volumen y de
profundidad sobre la superficie plana del
lienzo, poniendo en evidencia el principio de
las transformaciones continuas en el cuadro de lo que él nombrará la geometría
proyectiva.

Auguste Ferdinand Möbius
(1790-1868) empieza entonces a clasificar las
transformaciones según sus características.
En el mismo período, algunos hombres,
entre estos Karl Friedrich Gauss (1777-1855),
retoma el quinto postulado del libro I de
Euclides sobre las paralelas e inicia lo que se
llamará muy rápidamente la geometría no
euclidiana. Gauss se interesa en las
trayectorias curvas que puede tomar un
punto sobre una superficie cualquiera del
espacio. Él pone entonces en evidencia las
superficies cóncavas y convexas, sobre las
cuales un triángulo deja de satisfacer el
postulado de Euclides que afirma que la
suma de los ángulos de un triángulo es de
180° (¡para que ustedes lo representen
simplemente, dibujen un triángulo de tres
ángulos rectos sobre una superficie esférica !).

Esos trabajos encontraron su auge con Felix
Klein (1849-1925), quien considera incluir la
geometría proyectiva en la geometría no
euclidiana. Pero la geometría proyectiva no
se detiene allí : Klein retoma la clasificación
de Möbius, y emprende lo que él llama el
programa de Erlangen, el cual consiste en
definir el grupo de las transformaciones (por
ejemplo, si se toman dos transformaciones
cualquieras de ese grupo, de ese conjunto,
entonces la composición de esas dos
transformaciones es aún una transformación
del grupo).

La noción de grupo algebraico, construido
por Evariste Galois (1811-1832), inaugura una
nueva era matemática : lo Real ligado a la
letra desvela un Real «estructural », ligado a la
estructura conjuntista de los objetos que la
componen.

La cuestión del continuo infinitesimal
aparece de nuevo : ¿ cómo se comporta la
vecindad de un punto cuando éste está
sometido a una transformación del grupo
anteriormente definido ? O aún, ¿ cómo definir la característica fundamental de esas
transformaciones, a saber su
« continuidad » ?

Este nuevo paradigma deja perplejas a las
matemáticas : los axiomas de Euclides dejan
de ser lo suficientemente « fuertes » para dar
cuenta de la evolución de los
descubrimientos. David Hilbert propone
entonces reconstruir los fundamentos de la
geometría, con el fin de permitir un avance
de las matemáticas con todo rigor. Sin
embargo, esta voluntad de axiomatización
tropieza rápidamente con la ausencia de
nociones primeras, tales como la definición
del infinito, la definición del número no
racional, la definición de la continuidad, la
definición del rigor, etc.

Nosotros estamos ahora a finales del siglo 19,
[luego] las matemáticas van a conocer su
mayor revolución con lo que se llamará más
tarde la « crisis de los fundamentos », lugar
donde la ciencia llamada « exacta » busca
definir sus raíces, su estructura fundamental,
su razón de continuar pretendiendo tener el
rigor y la búsqueda de una verdad por lo
tanto sobre lo Real.

Pero esta es aun otra historia…