Se podría calificar la historia matemática de metamorfosis continua… Es posible en esto que las matemáticas difieren de las ciencias físicas y biológicas, en las cuales todo descubrimiento no es más que temporal y destinado a ser más tarde refutado, o mejor corregido, en los detalles. En matemáticas todo teorema demostrado tiene validez y vida eterna, al interior del sistema en el cual la demostración ha sido realizada. Sin embargo, si alguna demostración persistente no ha sido desmentida en el curso de la historia, es falso afirmar que toda aserción matemática ha sido rigurosamente desmostrada y validada. En efecto, después de la Antigüedad con Platón y Euclides y esto hasta finales del siglo 19, las matemáticas funcionaban demasiado bien y demasiado con la intuición. Los Elementos de Euclides formaron una axiomatización exhaustiva de la aritmética y de la geometría. La adecuación entre el mundo real y la modelización matemática es garantía de la buena utilización de la intuición para construir y estudiar las nuevas nociones. Se manipula a los seres matemáticos (números, distancias, lugares, continuidad, límite, infinitos, etc.) sin haberlos definido inicialmente precisamente porque son validadas intuitivamente por la aserción del entendimiento humano.

1. FIN DEL SIGLO 19 – LAS MATEMÁTICA SALEN DE LA INTUICIÓN Y SE ORIENTAN HACIA UN RIGOR -.

1.1 Las matemáticas son endógenas e inútiles.

Durante más de dos milenios, la actividad del matemático estuvo anclada en modelar lo Real a partir de la intuición perceptiva que él que tenga de ese Real ; pero el matemático es ante todo un hombre o una mujer y como lo señala Jean Dieudonné « hay una especie de curiosidad innata y natural del ser humano de resolver enigmas ». Así, muchos de los matemátocos nacieron de la resolución de enigmas totalmente desconectados del Real, o todo eso al menos [lejos] de la aplicabilidad de los resultados a una técnica que el hombre habría buscado dominar (como es necesariamente el caso en química, en biología, etc.). Entonces, a la pregunta « ¿Para qué sirven las matemáticas ? », Platón habría respondido, para gusto de sus sucesores: « ¡Las matemáticas no deben servir para nada ! »

Por lo tanto, él despreciaba toda tentativa de utilización de las matemáticas para la construcción de máquinas, afirmando que el pensamiento matemático no podía reducirse a una aplicación cualquiera a las técnicas. De este modo, la idea de que las matemáticas provenían de las necesidades técnicas es extremadamente reciente y del todo errónea. Las matemáticas son por esencia endógenas y autárquicas. Afortunadamente, Platón no fue obedecido y la aplicación de las matemáticas constituye todavía una fuente importante de descubrimientos y de invenciones no insignificantes y participa en la evolución de la ciencia y de las técnicas.

1.2. En el curso del siglo 19, en Göttingen y en París, muchos movimientos trazaron en paralelo la dirección que llevará a la revolución matemática de los años 1880.

La particularid de ese siglo es que los trabajos en matemáticas y en física tienden a alejarse de la percepción intuitiva del real poniendo en evidencia la existencia de las superficies curvas y estudiando sus propiedades específicas. En aquellos decenios de años, la geometría no euclidiana se desarrolló y la geometría clásica, basada en los axiomas euclidianos, no fueron considerados sino como un caso particular de una ciencia más general del espacio.

Se recuerda que en 1832, durante la noche anterior al duelo que le será mortal, Evariste Galois (1811-1832), a la edad de 20 años, escribe su testamento matemático, que versa sobre la teoría de los grupos. Sólo 40 años más tarde, el nombre de Galois será inmortalizado en la historia de las matemáticas, gracias al homenaje que le rinde M. Jordan (1838 – 1922) en su Tratado de las substituciones y de las ecuaciones algebraicas, en 1870. La teoría de los grupos está implícitamente ligada a la idea de estructura, y es precisamente esta idea de estructura la que falta en múltiples campos de las matemáticas. En efecto, la geometría estudia los casos particulares de las figuras o de las transformaciones, el análisis se interesa por las propiedades de ciertas funciones ligadas a las curvas o a las trayectorias específicas (sinusoides, cicloides, etc.), el álgebra busca determinar las soluciones a las ecuaciones de grado creciente, la aritmética se preocupa de las operaciones sobre los números. Pero todos los trabajos efectuados hasta el momento no se refieren sino a los casos singulares o destacables, desde la observación, la intuición o la imaginación de los Hombres. La teoría de los grupos tiene de innovador que permite englobar en una estructura los elementos de la misma naturaleza y estudiar sus propiedades o sus relaciones, sin necesidad de enumerar los elementos ni de extraer un elemento en particular. Félix Klein había captado bien el objetivo conceptual de la teoría de los grupos y en 1871, en Göttingen, retoma los trabajos de Ferdinand Möbius sobre las transformaciones continuas de la geometría proyectiva y los inscribe en la geometría no euclidiana ; [Felix Klein] emprende un programa totalmente inédito de clasificación de las invariantes de esas transformaciones afines, con la ayuda de la teoría de los grupos de Galois : el programa de Erlangen. Él es considerado como el instigador de una teoría algebraica de la geometría, creando así el primer puente intra-matemático entre dos disciplinas aparentemente bien distintas, el álgebra y la geometría.

La aproximación intuitiva del pasaje continuo de una forma a otra – dicho de otra manera, de las transformaciones continuas – interesa igualmente a Johann Benedickt Listing (1808- 1882), discípulo de Gauss, quien trabaja sobre el Analysis Situs, rama de la geometría inaugurada por Euler y Leibniz un siglo más tarde. Listing rebautiza en 1836 esta rama de las matemáticas como la topología, de topos= lugar y logos= discurso, ciencia. Él caracteriza la topología como el estudio de las propiedades invariantes por transformación biyectiva y bicontinua (lo que es precisamente el objeto del programa de Erlangen iniciado por Klein).

En consecuencia, se puede asimilar la topología al grupo de la geometría de las transformaciones biyectivas y bicontinuas, es decir que la topología sería el estudio del grupo de los homeomorfismos del espacio de la geometría no euclidiana.

1.3 El siglo 19 : una voluntad de rigor en matemáticas

Como se ha visto de pasada anteriormente, las demostraciones en geometría han estado durante mucho tiempo estimuladas y avaladas por la intuición del geómetra. En efecto, las ausencias o las faltas de rigor (hoy consideradas como tales a posteriori) son esencialmente debidas a las representaciones intuitivas del objeto matemático considerado que conducen al geómetra a introducir las proposiciones fundadas sobre su sola intuición. Recíprocamente, si una demostración terminaba en un resultado que chocaba con el sentido común, [entonces] la demostración debía contener un error o bien había creado un monstruo – por ejemplo, la irracionalidad de la diagonal de un cuadrado era un monstruo para los pitagóricos que no conocían sino los enteros o los racionales-. Los matemáticos se transformaron, se reformaron ; ciertos matemáticos no se satisfacieron más con ese funcionamiento contingente y bienaventurado de las pruebas y experimentaron su voluntad de precisar el rigor indispensable para su disciplina. A mediados del siglo 17, Leibniz había expresado el voto de construir un lenguaje universal que permitiera formalizar y expresar el pensamiento matemático. Euler también trabajaba esto y, los dos, introdujeron las escrituras simbólicas todavía en uso en las matemáticas actuales. Pero, la creación de una escritura específica no es suficiente para definir la lengua de la ciencia y las pruebas utilizando el cálculo simbólico todavía contenían, en los siglos 17 y 18, los presupuestos implícitos en donde la única legitimidad es debido a la coincidencia con una cierta realidad perceptiva o con una evidencia geométrica.

En el siglo 19, las ciencias se alejaron de la intuición, la adecuación a la realidad perceptiva es abandonada : la verdad, entonces, no está más garantizada por la evidencia sino por la demostración deductiva que debe ser irrevocablemente rigurosa.

1.4 La axiomatización y la lógica proposicional – de Boole (1840) hasta Peano (1889)

¿Cómo definir el rigor en el empleo matemático ? Después de Euclides y Arquímedes, una prueba se dice rigurosa si ella parte de axiomas explícitos y si cada paso de la demostración es construido siguiendo una regla de deducción. El rigor requiere por lo tanto de una axiomatización de la teoría en la cual la demostración se lleva a cabo. Euclides y Arquímedes habían construido una axiomática satisfactoria hasta ahí. Pero el descubrimiento de la geometría no euclidiana y la existencia de aberraciones, como la curva discontinua derivable en todo punto, dieron cuenta de los límites de la axiomática euclidiana, más próxima a la intuición y a la percepción del Real.

La idea de volver a fundar la axiomatización de la matemática se desarrolla y se cuestiona. « Si había un origen de toda las matemáticas, entonces, ¿de cuáles primeros elementos está hecha ella ? « En otras palabras, ¿cuáles son los primeros axiomas de los fundamentos de las matemáticas ? Se desprende una nueva concepción del rigor y de la axiomatización : los axiomas y las reglas de deducción deben ser explícitas y no referirse más que a los objetos abstractos o formales, desprendidos de todo contenido intuitivo o real. « Los axiomas no formulaban entonces las hipótesis sobre los objetos del mundo. Esos son los enunciados ligados a otros por una relación de deducción .»

El logicismo, iniciado por Georges Boole (1815-1864), responde totalmente a esas exigencias de formalización privada de contenido intuitivo. En 1847, en The mathematical analysis of logic, Boole introduce la noción de conjunto algebraico y los símbolos U y U invertida - [∩] - para significar la unión y la intersección de dos conjuntos. Él presenta igualmente las reglas que se articulan en las leyes generales del pensamiento permitiendo manipular esos símbolos en una teoría conjuntista y puede ser considerado como el precursor de la lógica matemática contemporánea. Treinta años más tarde, influenciado por las álgebras de Boole, Gottlob Frege (1848-1925) desarrolla el lenguaje formalizado con el cálculo de las proposiciones y la teoría de la cuantificación en 1879 en Begriffsschrift. Él propone los símbolos (y, o, implicación, equivalencia) y las reglas de buena formación (de inferencia) y de cierre que definen la lógica proposicional. El poder de la lógica proposicional de Frege reside en su álgebra simbólica : las expresiones formuladas por los símbolos y las reglas de buena formación permiten construir y estudiar las combinaciones infinitas de las proposiciones manipulando exclusivamente las reglas y los símbolos, independientemente de la significación real de las proposiciones.

Evidentemente, todos los matemáticos del mundo no son lógicos. Existen entonces cuatro escuelas de pensamiento referidas a la filosofía de las matemáticas : la escuela empirista, la escuela idealista, la escuela intuicionista (o constructivista de la cual hacían parte Kronecker, Poincaré, Borel), la escuela logicista (Dedekind, Cantor, Peano, Frege y Russell, para quienes « exhibir el objeto no es el objeto de su discurso »). Mientras que los logicistas consideran que las matemáticas están formadas sólo sobre la lógica, los constructivistas afirman que los sistemas aritméticos y geométricos están construidos a partir de la intuición y de la percepción del real y que es indispensable exhibir el objeto matemático con ayuda de un algoritmo, no siendo suficiente la prueba de su existencia por la lógica. Los lógicos son, entonces, calificados de reduccionistas. Esto no les impedirá caracterizar lo que se llama un sistema formal, el cual será la base teórica de la axiomatización de las matemáticas. El primero en intentar plasmarlo es Weierstrass (1815-1897) en la medida en que él emprende construir el análisis de la aritmética, es decir a partir de la noción de número. Entonces, él se percata, en 1863, que se manipula los números enteros, los números relativos, los números racionales, los números irracionales, mientras que falta cruelmente una construcción de los fundamentos lógicos de la aritmética, es decir, una definición rigurosa del número, y más particularmente del número irracional (ese que no puede ser escrito a/b como por ejemplo la raíz de 2, raíz de 3, pi, etc.). Hace falta entonces, en primer lugar, axiomatizar la aritmética, antes de considerar axiomatizar cualquier otra rama de las matemáticas, pues « la aritmética es la base concreta, intuitiva y absolutamente rigurosa de todas las matemáticas ». Weiertrass elabora entonces la primer contrucción del conjunto de números irracionales, que Cantor completará más tarde con el éxito que se sabe –ver parágrafo 2-.

Sin embargo, es Frege en su Grundlagen der Arithmetik (1884) el primero en intentar reconstruir toda la aritmética únicamente a partir de la lógica. Él demuestra un gran rigor en el lenguaje de los conjuntos y desarrolla el razonamiento deductivo ; pero sus notaciones, demasiado complejas, fueron un error en su trabajo, y, desanimado por las críticas de sus pares, Frege abandonará sus investigaciones.

En la línea de Frege, G. Peano (1858-1932) propuso una axiomatización de la aritmética de IN 2 en 1889 en Arithmetics Principia Nova Methodo Exposita. Él introduce nuevas notaciones : para el cuantificador existencial, para la inclusión, para el conjunto de los enteros naturales (IN, naturale). Agrega el axioma de inducción así como el principio de razonamiento por recurrencia y construye la lógica de predicados.

Él propone igualmente una definición de los enteros naturales como el número de elementos de un conjunto, lo que Cantor llamará el cardinal y que Zermelo escribirá como los cardinales respectivos del conjunto vacío, del conjunto que contiene el conjunto vacío, del conjunto que contiene el conjunto vacío y el conjunto del conjunto vacío, etc… (que yo no puede escribir así sin utilizar los símbolos).

Los trabajos de Peano colocan entonces a la aritmética como ejemplo fundador del buen funcionamiento de la axiomatización con ayuda de la lógica proposicional. Sus investigaciones influenciaron enormemente a Hilbert hasta [el grado de] llegar a publicar en 1899 los Grundlagen der Geometrie.

El conjunto de los enteros naturales tiene desde ahora un nombre IN y una axiomatización. Los otros números conocidos, a saber los racionales, los irracionales y los números trascendentes, esperan todavía una axiomatización o al menos una definición de su existencia. Paralelamente a los trabajos innovantes de Boole, Frege y Peano, los matemáticos de Göttingen (Weierstrass, Dedekind y Cantor) pusieron luego su atención sobre la construcción de los números irracionales y trascendentales, y se chocaron con la ausencia de una definición rigurosa de la continuidad y del límite infinito.

2. CANTOR – EL CONTINUO Y LOS INFINITOS

2.1 Dos nociones indeterminadas : continuidad y límite

Al comienzo del siglo 19, Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) y sobre todo Augustin Louis Cauchy (1789-1857) profundizaron la en la rama del análisis y dieron las definiciones formales de las nociones de continuidad de una función, de límite de una función en un punto, de derivabilidad de una función y de la integral. Esas definiciones son enseñadas en nuestras horas de clases en el colegio. Los trabajos de Cauchy tratan igualmente sobre las series y las series convergentes. Sin embargo, el rigor de Cauchy se aplica a una formalización de las nociones, independientemente de la definición del número. Entonces, es precisamente la ausencia de esta definición que choca al entendimiento de los matemáticos de Göttingen : Bolzano, Weierstrass, Dedekind, Riemann y otros, tienen necesidad de una definición rigurosa de los números no racionales para poder profundizar sus trabajos en análisis. Bolzano muestra en 1817 que si una serie es convergente entonces ella satisface el criterio de Cauchy, pero no así la recíproca: existen las series de Cauchy que no convergen en el conjunto de números racionales, notado IQ por Peano (cociente 3). Por ejemplo, la serie 1 ; 1 – 1/3 ; 1-1/3+1/5 ;

1-1/3+1/5-1/7,… no converge en IQ. El conjunto IQ no es cerrado entonces por la operación « límite de serie de Cauchy ». Surge entonces una pregunta: si una serie de Cauchy converge hacia un límite L no racional, entonces ¿es esa la naturaleza de L ? Se dice, por otra parte, que existen otros números, como los números irracionales y los números trascendentales. ¿Entonces el límite L puede ser definido como un número irracional o trascendente ? La pregunta queda por completo y exige que la noción de límite sea extendida a los números irracionales.

2.2. La teoría de los conjuntos y la construcción de IR4

En 1872, Georg Cantor (1845-1918) encuentra a Richard Dedekind (1831-1916) en Suiza y comienza con él sus trabajos sobre los números irracionales y sobre la teoría de conjuntos. La intuición de Cantor lo llevó a considerar el siguiente axioma : la recta geométrica representa el continuo y puede ser puesta en biyección con el conjunto de las magnitudes numéricas – en la medida en que cada punto M de la recta le corresponde a un único número, la abscisa de M, distancia algebraica (+ ó -) del punto M a un punto O fijo, el origen. Cantor nombra reales (1883) a esas magnitudes numéricas (racionales, irracionales o trascendentes) y se encamina a definir analíticamente el conjunto notado IR de los números reales, caracterizado por el continuo.

En 1872, Dedekind ya se había inclinado hacia la cuestión del continuo en su Stetigkeit und irrationale Zahlen, donde él da la definición de un conjunto infinito : se llama infinito a todo conjunto que puede ser puesto en biyección con una de sus partes – contraposición del axioma de Euclides que afirma que todo conjunto es más grande que su parte, lo que es válido para los conjuntos finitos. Relativo a la construcción del conjunto continuo de los números reales, la aproximación de Dedekind es aritméticoalgebraica : él trata toda suerte de problemas matemáticos en términos de estructuras. Él parte de los pre-requisitos siguientes :

1) IQ es cerrado para las 4 operaciones ;

2) Existe una relación de orden total en IQ;

3)IQ es denso, es decir que existe al menos un racional entre dos racionales cualquiera.

Después, efectua los cortes en IQ y define así, con ayuda de la relación del orden, el conjunto de irracionales contenidos en IQ. Es la primera definición del continuo referido sobre los números, pero ésta es difícil de aprehender desde un punto de vista intuitivo.

La aproximación de Cantor es geométricaanalítica : él procede por pasaje al límite de las series de Cauchy. La idea de Cantor es la de mostrar que las series de Cauchy no convergentes en IQ, convergen hacia los números irracionales o trascendentes : él completa así el conjunto IQ por esos números y muestra entonces que toda serie de Cauchy que converge admite un límite en IR. Esta demostración define no solamente el conjunto de todos las magnitudes numéricas conocidas, los números reales, sino que también ella define la continuidad del conjunto IR, puesto que entre dos números reales cualquiera, existe al menos un otro número real, definido como límite de una serie de Cauchy convergente. Y es en 1883, año de publicación de los Grundlagen, Fondements d´une théorie generale des ensembles, que Cantor presenta su construcción de IR, como completación5 de IQ: La biyección entre la recta real y el conjunto de números reales es entonces estable. Queda que este nuevo conjunto define también el continuo y que esta noción requiere ser profundizada. Cantor se propone entonces continuar su construcción de la teoría de conjuntos, con el fin de caracterizar las propiedades inherentes a los diferentes conjuntos de números (IN, Z, ID, IQ, IR).

2.3 La potencia del continuo

Su primer trabajo consiste en numerar el número de elementos contenidos en un conjunto : el cardinal. Él, [Cantor], constata que el conjunto IN de los enteros naturales no es solamente infinito, en el sentido de Dedekind, sino que también es enumerable, en el sentido que se podría enumerar, contar el número de elementos que él contiene (sin ser absoluto). El conjunto IN es entonces calificado de enumerable y él le asigna el símbolo w para designar su cardinal. Luego Cantor se empecina en demostrar que IR no es enumerable, es decir que no existe biyección entre IN y IR, esto con el fin de caracterizar más precisamente el continuo de IR como lo innumerable, lo indivisible, lo inconmensurable.

A este efecto, se puede recordar la experiencia de Zenón de Elea en cuanto él descompone o divide el movimiento, pues la continuidad, en instantes, de manera tal para mostrar la imposibilidad del movimiento. En lo que refiere Aristóteles de esta experiencia, señalemos que Zenon consideraba el continuo como una serie de instantes divisibles y es esta concepción errónea la que le llevó a una paradoja. En efecto, el tiempo se desvanece continuamente, no siendo separado cada instante del instante siguiente. Es el continuo físico (tiempo y espacio) donde el todo y las partes se conjuntan, sin posibilidad de discriminación, sin agujero, sin separación.

Cantor encadena las definiciones de su teoría de conjuntos :

1) El conjunto IN de los enteros naturales es infinito y es calificado de enumerable todo el conjunto que pueda ser puesto en biyección con IN;

2) Es llamado continuo todo conjunto que no es enumerable, que no tiene « agujero », que no es divisible, y que puede ser puesto en biyección con el único ejemplo a disposición, a saber IR.

Cantor demuestra primero que el conjunto IQ es aquel de los números algebraicos que son enumerables y somete a Dedekind una primera demostración (por el absurdo) de la no enumerabilidad de IR en 1873, pero esta demostración es muy complicada y no satisface por completo a Cantor (la estética de la demostración obliga).

Prosiguiendo las investigaciones sobre el conjunto IR, Cantor toma de la geometría proyectiva (y más particularmente a Jacob Steiner, 1796-1863) el término de « potencia » : dos figuras tienen la misma potencia si ellas están en biyección por una proyección. Él se propone entonces caracterizar precisamente la potencia del continuo, es decir, el cardinal de IR. En el comienzo, Cantor establece que no existe biyección entre IN y el intervalo [0,1]. Así pues, IR está en biyección con el intervalo [0 ;1] entonces no existe biyección entre IN y IR y finalmente IR es no enumerable.

Seguidamente, considera todo número real del intervalo [0,1] como una serie infinita de enteros del tipo 0,x1x1x3x4… . Esta serie x1x2x3x4… donde cada xi es un entero, puede ser representada por una parte de IN. Pues, si א es el cardinal de IN, entonces el conjunto de las partes de IN, que se escribe P(IN), tiene un cardinal igual a 2^א

Él dedujo que IR y P(IN) tienen la misma potencia y escribe la potencia del continuo, c igual a 2 א. Es de hecho en 1893 que Cantor utilizará la notación א , para designar el cardinal de IN; א (aleph) es la primera letra del alfabeto hebreo y designa igualmente la cifra 1.

2.4 Los números transfinitos – la serie de los aleph

Prosiguiendo sus trabajos, entre dos ingresos en un hospital psiquiátrico, [Cantor] afirma que « no existe algún conjunto infinito que no sea enumerable ni continuo, convenido que la potencia del continuo es inmediatamente superior a aquella de lo enumerable ». Esto que se llama la hipótesis del continuo, hará trabajar a un número de matemáticos y será el objeto de uno de los 15 problemas que Hilbert colocará en el nuevo siglo. Pensando en poder exhibir otras potencias sucesivas de c, Cantor persigue IR x IR y entre [0,1] y [0,1]x[0,1]. Las demostraciones son muy complicadas, pero el rigor de Cantor no le hace dudar que ha encontrado aquella cosa totalmente inédita : una superficie continua puede ser, entonces, puesta en biyección con un segmento continuo ; la superficie, de dimensión 2, y el segmento, de dimensión 1, son entonces de la misma potencia. Con esta aproximación geométrica, Cantor hace la topología, en el sentido de que él estudia la posibilidad de poner en biyección una superficie y una curva, y muestra que la continuidad asegura la invarianza de la potencia. A propósito de este descubrimiento, escribe en 1877 a Dedekind : «Je le vois mais je ne le crois pas »6, en francés en el texto.

[Cantor] contempla entonces construir la serie creciente infinita de números cardinales, la serie de los Aleph, serie de potencias transfinitas, y se da cuenta de que se requiere una simbolización : utiliza la letra 1א para designar la potencia del continuo y numera 4א 3א 2א etc, a la serie de potencias transfinitas. Su demostración es de un alto nivel y yo no podría explicarla acá – además, ese no es el objetivo [de este texto]-.

La teoría cantoriana presenta ciertas fallas, sobre las cuales los sucedores de Cantor han trabajado. Por lo demás, la construcción de los transfinitos planteó un problema metafísico a su inventor, en la medida en que ésta pone en cuestión la distinción filosófica entre el infinito potencial y el infinito actual.

Sea lo que sea, la genialidad de Cantor ha tenido un impacto sobre todas las teorías matemáticas que, para esta época, habían empezado la reconstrucción de sus fundamentos. La historia no se detiene acá, puesto que ella continua más bella hasta hoy en día y conoce entre tiempos las axiomatizaciones de Hilbert, de Zermelo-Fraenkel y la voluntad asombrosa de sus trabajos. Es entonces que él exhibe, para su gran asombro, una biyección entre IR y lo enciclopédico de los bourbakistas durante los años 1950, que marca profundamente los espíritus de los académicos confrontados con la matemática moderna.

3. CONCLUSIÓN DE LAS DOS SESIONES

Las discontinuidades en la historia de la geometría son una representación elocuente de las transformaciones y de los movimientos internos de las matemáticas. La construcción del conjunto IR por Cantor marca al final del siglo 19 una etapa significativa en la historia de la aritmética, puesto que hasta ese momento, sólo los números racionales eran conocidos y manipulados con todo conocimiento. Se puede afirmar que las matemáticas no han sido jamás una ciencia « exacta », aunque ellas aspiran a devenirlo y a reivindicar un rigor ejemplar. Al contrario, la crisis de los fundamentos compromete a las matemáticas hacia un rigor intolerante y casi totalitario para con la equivocación, el error, la ignorancia, el atolondramiento, en resumen, todo lo que la aleja o la devuelve del Real, olvidando, rechazando a los que hicieron lo que ella es, a saber los hablanteseres. Ella, [las matemáticas], se muestra entonces ingrata, pero a la vez terriblemente eficaz e innovadora.

Los primeros seminarios de Lacan se desarrollan en la época en que la crisis de los fundamentos en matemáticas ha marcado a los espíritus por su voluntad de rigor axiomático y por la construcción de una estructura englobante de la totalidad de esta disciplina, hasta allí esparcida y desmenuzada. [Como ya] se ha visto, las matemáticas son plurales e intuitivas, engendradas por lo estudios de sus particularidades, en donde las generalizaciones no se hacen sino al interior de un modelo especulativo más restringido al dominio contemplado. Las matemáticas han evolucionado, ellas se han transformado al grado de la curiosidad y de la perseverancia de ciertos hombres. Ella ha generado un historia, un lenguaje, de los nacimientos y también de los decesos, ella ha conocido las discontinuidades, las confusiones conceptuales y una crisis – ¿puede decirse de adolescencia, etapa de la vida en donde se buscan las raíces, lo fundamentos para crecer mejor y desarrollarse?–, ella ha vivido y vive aún, atravesando las fases existenciales ligadas al descubrimiento del mundo y al descubrimiento de sí. Al gusto de una existencia humana, las matemáticas se metamorfosean en continuidad y ruptura. Contrariamente a una existencia humana, las matemáticas son infinitas, eternas. Ellas nos sobrevivirán pero siempre serán tributarias de la capacidad inventiva y poética del espíritu humano.

Lacan, curioso obstinado, estuvo ciertamente interpelado por esta (r)evolución matemática, tanto más que ella abre inmensas perspectivas para las otras ciencias, que dicho de paso son todas humanas, hasta « trumaines 7 », en mi opinión. El concepto de continuidad que escapa a las matemáticas durante dos milenios es, sin embargo, una característica esencial del tiempo y yo diría también que del ser. En efecto, el ser se transforma o mejor se metamorfosea en continuidad con lo que es él, lo que él ha sido y lo que él será. Lo que yo he podido destacar en análisis : « Nada cambia. Todo cambia ».

La continuidad asegura la unicidad.